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*문제는 132~14110문항이 있으며 정답은 문제 아래에 있다.

 

B. 쌍둥이 보석함

 

어떤 박물관에 가 보면 쌍둥이 보석함들을 볼 수가 있는데 그 보석들은 본래부터 금상자와 은상자를 하나의 세트로 제작하였으며 팔기도 세트로만 판 것들이다. 사실 벨리니 집안과 첼리니 집안은 아주 절친한 우정을 나누는 사이였으며 때로는 합동으로 쌍둥이 보석함을 제조하기도 하였다. 물론 상자 하나에 대해서는 단 한 사람만이 제작에 참여하였다. 그러나 쌍둥이 보석함의 경우에는 두 사람이 각각 서로 하나씩 나누어 상자를 만든 경우도 간혹 있었다. 두 가문의 사람들은 미래에 총명한 후손들이 상자들을 제작한 주인공이 누구인지를 모두 알아내든가 혹은 일부만이라도 알아낼 수 있도록 쌍둥이 보석함을 설계하는데 상당한 재미를 느끼고 있었다. 여기 하나의 쌍둥이 보석함이 주어져 있을 경우, 그 보석함 세트를 만든 제작자에 대해 16가지의 가능성이 있을 수 있다. 즉 금상자는 벨리니와 그의 아들 그리고 첼리니와 그의 아들이 만들 수가 있으며, 그 각각의 경우에 대해 그 4사람이 각각 은상자를 만드는 경우를 생각할 수가 있다.

 

132.

언젠가 나는 다음과 같은 쌍둥이 보석함을 본 적이 있다.

 

 

이 한 쌍의 상자는 각각 누가 제작한 것인가?

 

 

133.

언젠가 나는 다음과 같은 쌍둥이 보석함을 본 적 있다.

 

 

 

두 상자는 각각 누가 만들었는가?

 

 

134.

다음과 같은 한 쌍의 상자를 생각해 보자.

 

  

 

이 두 상자 가운데 적어도 한 상자는 벨리니가 제작했음을 증명해 보라.

 

 

135.

마찬가지로 다음과 같은 한 쌍의 상자를 생각해 보자.

    

 

 

위의 두 상자 가운데 적어도 하나는 첼리니의 아들이 만들었음을 증명하라.

 

 

136.

역시 다음과 같은 한 쌍의 상자를 생각해 보자.

 

 

 

위의 두 상자 가운데 적어도 하나는 벨리니나 첼리니가 만들었음을 증명하라.

 

 

137.

그 다음에 내가 겪은 모험은 평생을 두고 잊지 못할 희한한 경험이었다. 어느날 나는 우연히 쌍둥이 상자를 볼 기회가 있었다. 그 때 마침 그 쌍둥이 상자 가운데 벨리니가 제작한 상자가 하나라도 있는지 알고 싶어서 그 중 한 상자에 적혀 있는 글귀를 읽었으나, 그 글만 보아서는 도무지 내가 알고 싶은 것을 알아낼 수가 없었다. 그래서 다른 상자를 열어 보았더니, 놀랍게도 처음 상자와 똑같은 글귀가 적혀 있는 것이었다. 그러나 그보다 더욱 기막힌 사실은 다른 상자의 글을 읽고 나서는 두 상자 모두 벨리니가 제작한 것임에 틀림없다는 것을 알 수 있었다는 것이다.

    

두 상자에 어떤 글귀가 적혀 있었는지 알아낼 수 있는가?

 

 

138.

그 다음 번에도 똑같은 글귀가 적혀 있는 한 쌍의 상자를 발견했는데 그 글을 읽고는 두 상자 모두 벨리니가 제작한 것임을 추론해 낼 수 있었다. 그러나 만일 두 상자 가운데 한 상자만 보았더라면 첼리니가 만든 상자가 단 한 상자라도 있는지 조차 알아낼 길이 없었을 것이다.

 

그렇다면 그 두 상자에 어떤 글이 쓰여 있었는지 말할 수 있는가?

 

 

139.

그 다음 기회에도 역시 똑같은 글귀가 적혀 있는 한 쌍의 상자를 발견했는데 그 글을 읽고는 그 두 상자 모두 벨리니가 만들었거나 혹은 두 상자 모두 첼리니가 만들었다는 것까지는 추론해 낼 수 있겠다. 그러나 그 가운데 누가 과연 그 상자들을 만든 주인공인지는 알 수가 없었다. 또한 그 두 상자 가운데 한 상자만 보았더라면 그러한 추론마저 불가능했을 것이다.

 

그렇다면 그 두 상자에 어떤 글이 쓰여 있었는지 말할 수 있는가?

 

 

140.

다음의 두 조건을 충족시키는 상자야 말로 이 세상에서 가장 귀한 쌍둥이 상자이다.

 

언젠가 나는 운좋게도 그러한 조건에 부합하는 쌍둥이 상자를 본 적이 있다. (내가 알기에 지금까지 제작된 쌍둥이 상자 가운데 그와 같은 상자는 내가 본 것이 유일한 것이다.)

 

그렇다면 그 두 상자에 각각 어떤 글이 쓰여 있었는지 말할 수 있는가?

 

 

141. 즐거운 모험담

총각 시절 나는 한 때 이탈리아의 플로렌스 지방에 머문 적이 있었다. 그 당시 나는 신문을 읽다가 우연히 논리학자를 구함이라는 구인 광고를 발견했다. (나는 이탈리아어를 전혀 할 줄 몰랐는데 다행스럽게도 그 신문은 영자 신문이었다.) 그래서 나는 구인 광고를 낸 박물관을 찾아 갔더니 박물관 측에서는 풀기 힘든 문제거리가 하나 생겨서 그 문제를 해결하는데 도움을 얻을까 해서 논리학자를 구하는 광고를 냈다는 것이었다. 박물관 측의 설명에 의하면 4개의 보석함이 발견되었는데, 그 가운데 두 개는 금상자였고 다른 두 개는 은상자였다. 애당초 그것들은 두 개의 세트로 된 쌍둥이 상자들이었는데 어떤 이유에서인지 서로 뒤섞이는 바람에 어느 상자가 어느 상자의 짝인지를 알 수가 없게 되었다는 것이다.

 

4개의 상자를 보자마자 나는 그 자리에서 문제를 해결할 수 있었다. 그 대가로 상당한 액수의 사례비를 받았다. 또한 누가 어느 상자를 만들었는지도 알아낼 수 있었기 때문에 그로 인해 별도의 보너스도 받았다. (그 보너스 가운데는 키안티산 최고급 와인도 포함되어 있었다.) 뿐만 아니라 무엇보다도 남들 앞에서 자랑할만 했던 것은 플로렌스 지방에서 가장 매력적인 아가씨로부터 감사의 키스를 받았다는 사실이다.

 

다음이 문제의 네 개의 상자이다.

 

 

이제 해결해야 할 문제는 다음 두 가지이다.

 

(a) A의 짝은 C인가, 혹은 D인가?

(b) 네 개의 상자는 각각 누가 만들었는가?

 

    

  

 

<정답>

 

132.

금상자에 적혀 있는 글귀는 절대 참이 될 수 없다. 왜냐하면 그 글이 참이라고 할 경우 모순이 나오기 때문이다. 따라서 금상자는 첼리니가의 사람이 제작한 것이다. 금상자에 쓰여져 있는 글귀가 거짓이니 만큼 두 상자를 모두 첼리니가의 사람들이 만든 것은 아니다. 따라서 은상자는 벨리니가의 사람이 만들었다는 이야기가 된다. 그렇다면 은상자의 글은 참이 되고 따라서 어느 상자도 양쪽 집안의 아들들이 제작한 것이 아니다. 그러므로 금상자는 첼리니가 만들었고, 은상자는 벨리니의 작품이다.

 

 

133.

기사와 건달들의 섬에 사는 사람이 내가 기사이면 이러이러한 것은 참이다.”라고 주장할 경우, 그는 기사이고 이러이러한 것은 참이어야 한다는 사실을 알고 있다. 이제 이와 비슷한 증명 방식에 의해 금상자에 적혀 있는 글귀가 참임을 증명하기로 한다.

 

금상자를 벨리니 가문의 사람이 만들었다고 가정해 보자. 그러면 금상자에 적혀 있는 이 상자를 벨리니 가문의 사람이 만들었다면, 은상자는 첼리니가 제작했음.”이라는 문장은 참이 된다. 그러나 (가정에 의할 것 같으면) 금상자는 벨리니 가문의 사람이 만들었다. 따라서 은상자는 첼리니가 만들었다는 이야기가 된다. 이렇게 해서 금상자를 벨리니 가문의 사람이 만들었다면, ‘은상자는 첼리니가 만든 것임이 증명되었다. 다시 말해, 금상자에 쓰인 문장이 참임이 증명된 셈이다. 따라서 금상자는 실제로 벨리니 가문의 사람이 만들었다.

 

이것과 위에서 증명한, 금상자를 벨리니 가문의 사람이 만들었다면 은상자는 첼리니가 만든 것이라는 사실을 결합하면 은상자는 첼리니가 제작했다는 결론을 얻을 수 있다. 그러므로 은상자에 있는 문장은 거짓이며, 따라서 금상자는 첼리니의 아들이 만든 것이 아니다. 그러나 위에서 증명한 대로 금상자는 벨리니의 아들이 만든 것이 아니다. 그러나 위에서 증명한 대로 금상자는 벨리니 집안의 사람이 만든 것이다. 그러므로 금상자는 벨리니의 작품이라는 이야기가 된다. 결국 금상자는 벨리니가 만들었고, 은상자는 첼리니가 제작한 것이다.

 

 

134.

먼저, 금상자에 적혀 있는 글귀가 참이라고 가정해 보자. 그 경우 은상자는 벨리니의 아들이 만든 것이며, 따라서 은상자의 글귀는 참이 된다. 이것은 곧 금상자는 벨리니의 아들이 만든 것이 아니라는 이야기가 되는데, 그러나 금상자의 글귀는 참이기 때문에 금상자는 결국 벨리니가 만든 것일 수밖에 없다.

 

금상자에 적혀 있는 글귀가 거짓이라고 가정해 보자. 그 경우 은상자는 벨리니의 아들이 만든 것이 아니다. 그러나 은상자에 쓰여져 있는 글은 참이어야 한다. (왜냐하면 금상자에 써 있는 글은 가정에 의해 거짓인 바, 거짓인 글을 벨리니의 아들이 적어 넣었을 리가 없기 때문이다.) 따라서 은상자는 벨리니가 만들었다.

 

위의 증명을 한마디로 요약하자면, 금상자에 적혀 있는 글귀가 참일 경우, 금상자는 벨리니가 만든 것이 되며, 금상자의 글귀가 거짓일 경우, 은상자는 벨리니의 작품이 된다.

 

 

135.

우선 은상자에 적혀 있는 글귀가 참이라고 가정해 보자. 그 경우 은상자의 글이 참이므로, 은상자는 벨리니 가문의 사람이 만들었다는 이야기가 된다. 따라서 금상자에 적혀 있는 은상자는 첼리니가 제작하였음.”이라는 글귀는 거짓일 수밖에 없다. 그러나 가정에 의해 은상자에 적혀 있는 글귀는 참이므로, 금상자는 첼리니의 작품일 수가 없다. 그러므로 금상자의 글은 거젓이나 금상자 자체는 첼리니가 제작한 것이 아니다. 따라서 금상자는 첼리니의 아들이 만든 것이다.

 

이와 반대로 은상자에 적혀 있는 글귀가 거짓이라고 가정해 보자. 그 경우 금상자는 첼리니가 만들었다는 이야기가 된다. 그러므로 금상자에 쓰여진 글귀는 거짓이며, 따라서 은상자는 첼리니가 제작한 것이 아니다. 고로 은상자에 쓰여진 글귀는 거짓이지만 은상자 자체는 첼리니가 제작한 것이 아니다. 따라서 은상자는 첼리니의 아들이 만든 것이다.

 

위의 증명을 한마디로 요약하자면, 은상자에 적혀 있는 글귀가 참일 경우, 금상자는 첼리니의 아들이 만든 것이며, 반대로 그 글귀가 거짓일 경우, 은상자는 첼리니의 아들이 제작한 보석함이 된다.

 

 

136.

금상자에 쓰여 있는 글귀가 참이라고 가정해 보자. 그 경우 은상자에 적혀 있는 글귀 역시 참이 될 수밖에 없는데, 이는 곧 금상자에 적힌 글이 거짓임을 의미한다. 이것은 모순이며, 따라서 금상자에 적혀 있는 글귀는 거짓이다. 이 말은 또한 은상자가 벨리니의 아들이 제작한 것이 아님을 의미한다. 그러므로 은상자에 쓰여 있는 글귀가 참이라면, 은상자는 벨리니가 만든 것이 된다. 반대로 은상자의 글이 거짓이라면, 금상자는 첼리니의 아들이 만든 것이 아니라는 말이 된다. 그러나 금상자에 쓰여 있는 글귀는 거짓임이 입증된 만큼, 금상자는 이 경우 첼리니가 제작한 것이다.

 

위의 증명을 한마디로 요약하자면, 은상자에 쓰여진 글이 참이면 은상자는 벨리니가 제작한 것이며, 은상자의 글이 거짓이면, 금상자는 첼리니가 만든 것이다. 따라서 은상자를 벨리니가 제작했거나 혹은 금상자를 첼리니가 제작했거나 둘 중의 하나이다.

 

 

137.

이번 문제와 다음에 이어지는 세 문제에 대해서는 정답은 여러 가지로 나올 수가 있다. 이번 문제에 대한 가능한 해답 가운데 한 가지는 두 상자에 두 상자 모두 벨리니가 제작했거나 혹은 그 가운데 적어도 하나는 첼리니 가문의 사람이 제작한 것임.”이라는 글이 적혀 있었다는 것이다.

 

그 두 상자 가운데 어떤 상자라도 첼리니 가문에 속한 사람이 제작한 것일 수가 없다. 왜냐하면 그 중 한 상자라도 첼리니 가문의 사람이 제작했을 경우, 그 상자에 쓰인 글귀는 참이 될 것이기 때문이다. 따라서 두 개의 상자는 모두 벨리니 가문의 사람이 만든 것이다. 그러므로 두 상자는 모두 벨리니가 제작했거나 혹은 그 가운데 적어도 하나는 첼리니 가문의 사람이 제작한 것이라는 글귀는 참이다. 상자에 적혀 있는 그 선언문에서 두 번째 선언지, 다시 말해 그 가운데 적어도 하나는 첼리니 가문의 사람이 만들었다는 부분은 거짓이다. 따라서 두 상자는 모두 벨리니가 제작한 것이다.

 

 

138.

이 문제에 대한 한 가지 해답은 두 상자에 적어도 이 두 상자 가운데 하나는 첼리니의 아들이 제작한 것임.”이라는 글귀가 적혀 있었다는 것이다. 만일 이 글귀가 참이라면, 두 상자 가운에 적어도 하나는 첼리니의 아들이 만들었을 것이다. 그러나 첼리니의 아들이 참인 글을 적어 넣었을 수는 없다. 그러므로 그 글은 거짓이며, 따라서 두 상자 모두 첼리니의 아들이 만들지 않았다는 이야기가 된다. 따라서 두 상자 모두 첼리니가 만든 것이다.

 

 

139.

그 두 상자에 적어 넣을 수 있는 글귀 가운데 하나는 다음과 같은 것이다. “두 상자 모두 벨리니가 제작했거나 혹은 그 가운데 적어도 하나를 첼리니의 아들이 제작하였음.”

 

여기서 위의 글귀가 참이면 두 상자는 모두 벨리니가 만들었으며, 그 글이 거짓일 경우, 두 상자 모두 첼리니가 제작한 것임을 증명해 보기로 한다.

 

먼저 상자에 쓰인 글이 참이라고 가정해 보자. 그 경우 실제로 두 상자 모두 벨리니가 제작했거나 혹은 그 가운데 적어도 하나는 첼리니의 아들이 제작했다. 그런데 첼리니의 아들이 참인 글을 적어 넣을 수는 없으니 만큼, 위의 선언문에서 두 번째 선언지는 참일 수가 없다. 따라서 두 상자 모두 벨리니가 제작한 것임에 틀림없다.

 

상자에 쓰인 글귀가 거짓이라고 가정해 보자. 그 경우 위의 선언문을 이루는 두 선언지가 동시에 거짓이 된다. 이 가운데 특히 두 상자 가운데 적어도 하나는 첼리니의 아들이 제작했다는 두 번째 선언지는 거짓이다. 이 말은 곧 두 상자 가운데 어느 것도 첼리니의 아들의 작품이 아님을 의미한다. 그런데 상자에 쓰인 글귀는 거짓이라고 했으므로, 두 상자 모두 첼리니가 제작한 것이다.

 

 

140.

한 가지 해답은 다음과 같다.

 

금상자 : “은상자를 첼리니 가문의 사람이 제작했을 경우 또 오직 그 경우에 한해 이 두 상자는 벨리니와 첼리니가 만든 것임.”

은상자 : “금상자는 첼리니 가문의 사람이 제작한 것임.”

 

여기서 문제의 상자들을 벨리니와 첼리니가 제작했다는 명제를 P라 하고, 은상자를 첼리니 가문의 사람이 제작했다는 명제를 Q라고 하자. 그 경우 금상자에 적혀 있는 글은 PQ와 동치라는 것이다. 한편 은상자에 적혀 있는 글은 금상자의 글을 적어 넣은 사람이 거짓말쟁이임을 의미하는데, 그것은 또한 금상자와 은상자에 서 있는 글귀 가운데 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이라는 것을 의미한다.

이제 금상자에 쓰여져 있는 글이 참이라고 가정해 보자. 그 경우 (위에서 이미 증명한 대로 금상자와 은상자에 적혀 있는 글귀 가운데 하나는 참이고 다른 하나는 거짓이므로) 은상자에 쓰인 글은 거짓이어야 한다. 따라서 은상자는 첼리니 가문의 사람이 제작했다는 이야기가 되므로 Q는 참이다. 또한 금상자에 쓰인 글이 참이기 때문에, P는 실제로 Q와 동치이다. 그 경우 (Q는 참이므로) P 역시 참이어야 한다.

 

이번에는 반대로 금상자에 쓰여져 있는 글귀가 거짓이라고 가정해 보자. 그 경우 은상자에 쓰인 글은 참이 되며 따라서 은상자는 첼리니 가문의 사람이 제작한 것이 아니라는 이야기가 된다. 그러므로 Q는 거짓이 될 수밖에 없으며, 또한 PQ가 이 경우 동치가 아니므로 P는 또다시 참이 된다.

 

이렇게 해서 어느 경우건 P는 참이 된다는 것, 다시 말해 두 상자 가운데 하나는 벨리니가 또 다른 하나는 첼리니가 각각 나누어 제작했음을 알 수 있다.

 

 

141.

A 상자의 짝은 D 상자임이 분명하다. 왜냐하면 만일 A의 짝이 C 상자라면 다음과 같은 모순이 생길 것이기 때문이다.

 

A의 짝이 C라고 하고, A에 쓰여 있는 글이 참이라고 가정해 보자. 그 경우 C에 적혀 있는 글은 거짓이 된다. 이것은 또한 A에 쓰여 있는 글이 거짓임을 의미한다. 그러나 그것은 모순이다. 이와 반대로 A에 쓰인 글이 거짓이라고 가정해 보자. 그러면 C에 적혀 있는 글은 참이 된다. 이것은 또한 A에 쓰여 있는 글이 참임을 의미하는데, 이것 또한 모순이다. 그러므로 A의 짝은 C가 될 수 없다. 이상의 증명으로 첫 번째 문제는 해결된 셈이다.

 

이번에는 B-C 쌍을 고찰해 보기로 하자. 우선 C에 적혀 있는 글귀가 거짓이라고 가정해 보자. 그 경우 B는 첼리니 가문의 사람이 제작한 것이며, 따라서 B에 적힌 글귀는 거짓이 된다. B의 글이 거짓이라는 것은 곧 선언문인 B의 글에 나오는 두 선언지가 모두 참이 아님을 의미한다. 따라서 첫 번째 선언지도 거짓이 되는데, 이는 즉 C가 첼리니 가문의 사람이 만든 보석함이라는 것을 뜻한다. 그러므로 C의 글이 거짓이면, C는 벨리니 가문의 사람이 제작했다는 이야기가 되는데 이러한 일은 있을 수 없다. 따라서 C의 글은 참이다. 그런데 C의 글은 금상자 (B)를 벨리니 가문의 사람이 제작했다고 주장하고 있으니 만큼 B에 적혀 있는 글귀 역시 참이 된다. 그러나 은상자인 C의 글이 참인 만큼 첼리니 가문의 사람이 은상자를 제작하지는 않았으며, 따라서 B의 글에서 첫 번째 선언지는 참이 될 수 없다. 그러므로 두 번째 선언지가 참이며, 따라서 B 상자와 C 상자는 모두 벨리니가 제작한 것이다.

 

이번에는 A-D 쌍을 생각해 보기로 하자. 우선 A의 글이 거짓이라고 가정해 보자. 그 경우 D는 벨리니 가문의 사람이 제작한 것이며, 따라서 D에 적혀 있는 글은 참이 된다. D의 글이 참이라는 것은 곧 A도 벨리니 가문의 사람이 만들었다는 것을 의미하는데 이것은 모순이다. 따라서 A의 글은 참이다. 이것은 또한 D에 적혀 있는 글이 거짓임을 함축한다. 따라서 두 명제를 또한”(and)으로 연결한 연언문인 D의 글에서 연결된 두 글귀, 즉 두 연언지 가운데 적어도 하나는 거짓이어야 한다. 그런데 A의 글이 참이므로, 첫 번째 연언지는 참이 되며, 따라서 두 번째 연언지가 거짓이어야 한다. 이 말은 곧 벨리니의 아들과 첼리니의 아들은 아무 상자도 만들지 않았음을 의미한다. 따라서 A 상자는 벨리니가 제작한 것이며 D 상자는 첼리니의 작품이다.

 

 

퍼즐과 함께하는 즐거운 논리

레이먼드 M. 스멀리언 저/이종권,박만엽 공역
문예출판사 | 2013년 08월

 

 
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